题目
题型:不详难度:来源:
⑴ 求双曲线的方程;
⑵ 若一过点(为非零常数)的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、,且,问在轴上是否存在定点,使?若存在,求出所有这样定点的坐标;若不存在,请说明理由
答案
解析
试题分析:(1) 设双曲线的方程为,则.
由,得,即.
∴ 3分
解之得,∴.
∴双曲线的方程为. 5分
(2) 设在轴上存在定点,使.
设直线的方程为,.
由,得.
即 ① 6分
∵,,
∴.
即. ② 8分
把①代入②,得 ③ 9分
把代入并整理得
其中且,即且.
. 10分
代入③,得,化简得 .当时,上式恒成立.
因此,在轴上存在定点,使. 13分
点评:难题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题(1)求双曲线方程时,应用了双曲线的定义及其几何性质,难度不大,较为典型。(2)则在应用韦达定理的基础上,通过平面向量的坐标运算,达到证明目的。
核心考点
试题【如图,直角坐标系中,一直角三角形,,B、D在轴上且关于原点对称,在边上,BD=3DC,△ABC的周长为12.若一双曲线以B、C为焦点,且经过A、D两点.⑴ 求双】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中的轨迹为,过点的直线被所截得的线段的长为8,求直线的方程
(1)求椭圆的标准方程及离心率;
(2)为坐标原点,是直线上的一个动点,求的最小值,并求出此时点的坐标.
(1)求此双曲线的方程;
(2)求
(1)求点的轨迹方程;
(2)设为点的轨迹的左焦点,为右焦点,过的直线交的轨迹于两点,求的最大值,并求此时直线的方程.
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