题目
题型:不详难度:来源:
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)(i)已知点,若曲线上存在不同两点、满足,求实数的取值范围;
(ii)当时,抛物线上是否存在异于、的点,使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
答案
(ii)详见解析.
解析
试题分析:(1)首先由题意得到动点到直线和动点到点的距离相等,从而得到动点的轨迹是以点为焦点,以直线为准线的抛物线,从而求出轨迹的方程;(2)(i)先由得到点为线段的中点,并设点,从而得到,并设直线的方程为,与抛物线的方程联立,结合与韦达定理在中消去,从而求解参数的取值范围;(ii)先假设点存在,先利用(i)中的条件求出点、两点的坐标,并设点的坐标为,设圆的圆心坐标为,利用、、三点为圆上的点,得到及,利用两点间的距离公式得到方程组,在方程组得到、与的关系式,然后利用导数求出抛物线在点的切线的斜率,利用切线与圆的半径垂直,得到两直线斜率之间的关系,进而求出的值,从而求出点的坐标.
试题解析:(1);
(2)(i)设,两点的坐标为,且,
∵,可得为的中点,即.
显然直线与轴不垂直,设直线的方程为,即,
将代入中,得. 2分
∴ ∴. 故的取值范围为.
(ii)当时,由(i)求得,的坐标分别为
假设抛物线上存在点(且),使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.设圆的圆心坐标为,
∵ ∴
即 解得
∵抛物线在点处切线的斜率为,而,且该切线与垂直,
∴.即.
将,代入上式,得.
即.∵且,∴.
故满足题设的点存在,其坐标为.
核心考点
试题【已知点(,是常数),且动点到轴的距离比到点的距离小. (1)求动点的轨迹的方程;(2)(i)已知点,若曲线上存在不同两点、满足,求实数的取值范围;(ii)当时,】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)如图,已知椭圆的上、下顶点分别为,点在椭圆上,且异于点,直线与直线分别交于点,
(ⅰ)设直线的斜率分别为、,求证:为定值;
(ⅱ)当点运动时,以为直径的圆是否经过定点?请证明你的结论.
(Ⅰ)求,的方程;
(Ⅱ)过作两条互相垂直的直线,其中与相交于点,与相交于点,求四边形面积的取值范围.
(Ⅰ)若椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为,求椭圆方程;
(Ⅱ)已知:直线相交于,两点(不是椭圆的左右顶点),并满足 试研究:直线是否过定点? 若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由
A.2 | B.1 |
C.0 | D.不能确定,与、的值有关 |
(1) 求椭圆的离心率的取值范围。
(2)当离心率最小且时,求椭圆的方程。
(3)若直线与相交于(2)中所求得的椭圆内的一点,且与这个椭圆交于、两点,与这个椭圆交于、两点。求四边形ABCD面积的取值范围。
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