题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知点,直线与椭圆交于两点.若△是以为直角顶点的等腰直角三角形,试求直线的方程.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)由椭圆的定义可求得和,再根据,可求得。即可求出椭圆方程。(Ⅱ)由点斜式设出直线方程,然后联立,消掉(或)得到关于的一元二次方程。因为有两个交点所以判别式大于0,再根据韦达定理得出根与系数的关系。根据题意可知且。用这两个条件可列出两个方程。如用直线垂直来解需讨论斜率存在与否,为了省去讨论可转化为向量垂直问题用数量积公式求解, 注意讨论根的取舍。
试题解析:解:(Ⅰ)设椭圆标准方程为.依题意
,所以.
又,所以.
于是椭圆的标准方程为. 5分
(Ⅱ)依题意,显然直线斜率存在.设直线的方程为,则
由得.
因为,得. ①
设,线段中点为,则
于是.
因为,线段中点为,所以.
(1)当,即且时,
,整理得. ②
因为,,
所以
,
整理得,解得或.
当时,由②不合题意舍去.
由①②知,时,.
(2)当时,
(ⅰ)若时,直线的方程为,代入椭圆方程中得.
设,,依题意,若△为等腰直角三角形,则
.即,解得或.不合题意舍去,
即此时直线的方程为.
(ⅱ)若且时,即直线过原点.依椭圆的对称性有,则依题意不能有,即此时不满足△为等腰直角三角形.
综上,直线的方程为或或. 14分
核心考点
试题【已知椭圆两焦点坐标分别为,,且经过点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)已知点,直线与椭圆交于两点.若△是以为直角顶点的等腰直角三角形,试求直线的方程.】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在斜率为的直线,使直线与椭圆交于不同的两点,满足. 若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)为坐标原点,斜率为的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点,,若,求△的面积.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过椭圆的右焦点且斜率为k的直线与椭圆交于点A(xl,y1),B(x2,y2),若, 求斜率k是的值.
(Ⅰ)若抛物线的焦点在直线的下方,求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且,过两点分别作W的切线,记两切线的交点为,求的最小值.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且,过两点分别作W的切线,记两切线的交点为. 判断四边形是否为梯形,并说明理由.
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