题目
题型:不详难度:来源:
(1)求P点的坐标.
(2)能否使直线CD过椭圆C1的右焦点,若能,求出此时双曲线C2的离心率;若不能,请说明理由.
答案
解析
∵A(-a,0),B(a,0),
∴PA的中点为C(,),
点C在椭圆上,代入椭圆方程,化简得
b2x2+a2y2-2ab2x=3a2b2 ②
①+②:2b2x2-2ab2x=4a2b2,
∴x2-ax-2a2=0,(x+a)(x-2a)=0.
∵P在双曲线右支上,∴x+a≠0,则x=2a.
代入①:a2y2=3a2b2,P在第一象限,
∴y>0,y=b,得P(2a,b).
(2)由P(2a,b)及B(a,0)得PB:y=(x-a).
代入椭圆方程:
b2x2+a2·(x2-2ax+a2)=a2b2,
∴4b2x2-6ab2x+2a2b2=0.
2x2-3ax+a2=0,(2x-a)(x-a)=0.
∵x<a,∴x=,
从而y=(-)=-b,
得D(,-b).同理可得C(,b).
C,D横坐标相同,知CD⊥x轴.
如CD过椭圆右焦点F2(c,0),∴c=,即a=2c,
从而b2=a2-c2=a2.设双曲线半焦距为c",
则c"2=a2+b2=a2,∴e"=.
于是直线CD可通过椭圆C1的右焦点,此时双曲线C2的离心率为e"=.
核心考点
试题【椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C2:-=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C1分别交于C,D点,】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C的方程.
(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l1,l2使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l1,l2的方程;
②求证:|MN|为定值.
(1)求椭圆的方程.
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
A.[1,) | B.(0,] | C. | D.(0,1] |
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