题目

题型：不详难度：来源：

直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点,已知m=(ax₁,by₁),n=(ax₂,by₂),若m⊥n且椭圆的离心离e=,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

答案

(1) +x²=1.   (2) 定值.理由见解析

解析

(1)∵∴a=2,b=1,
∴椭圆的方程为+x²=1.
(2)①当直线AB斜率不存在时,即x₁=x₂,y₁=-y₂,
由已知m·n=0,得4-=0⇒=4,
又A(x₁,y₁)在椭圆上,
所以+=1⇒|x₁|=,|y₁|=,
S_△AOB=|x₁||y₁-y₂|=|x₁|·2|y₁|=1,三角形的面积为定值.
②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+t,
由⇒(k²+4)x²+2ktx+t²-4=0,必须Δ>0,即4k²t²-4(k²+4)(t²-4)>0,
得到x₁+x₂=,x₁x₂=,
∵m⊥n,∴4x₁x₂+y₁y₂=0⇔4x₁x₂+(kx₁+t)(kx₂+t)=0,代入整理得:2t²-k²=4,
S=×|AB|=|t|===1,
所以三角形的面积为定值.