题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若圆x²＋y²＝的切线L与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

答案

（1）＋y²＝1（2）垂直

解析

(1)设A(x₀，y₀)，则B(－x₀，－y₀)，F(c,0)(c²＝a²－b²)
|AF|＋|BF|＝2a＝2，∴a＝.
又|AB|＝＝2 ，0≤≤a²，
∴|AB|_min＝2b＝2，∴b＝1，∴椭圆E的方程为＋y²＝1.
(2)由题设条件可知直线L的斜率存在，设直线L的方程为y＝kx＋m.
∵直线L与圆x²＋y²＝相切，∴，
∴m²＝ (k²＋1)．
将y＝kx＋m代入＋y²＝1中得，
(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0，Δ＝8(2k²＋1－m²)＞0.
令P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，x₁≠x₂，
则x₁＋x₂＝①，x₁x₂＝②，
y₁y₂＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝③.
∴·＝x₁x₂＋y₁y₂＝＋＝＝0，
∴⊥，即OP与OQ垂直