题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
答案
解析
解:(1)∵抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,
∴=,得c=1,
∴F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),
由x2=4y得y′=x,
∴切线PA:y-y1=x1(x-x1),
有y=x1x-+y1,而=4y1,
即切线PA:y=x1x-y1,
同理可得切线PB:y=x2x-y2.
∵两切线均过定点P(x0,y0),
∴y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,
由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上,
∴直线AB的方程为y0=xx0-y,
即y=x0x-y0.
(3)设点P的坐标为(x′,y′),
由x′-y′-2=0,
得x′=y′+2,
则|AF|·|BF|=·
=·
=·
=(y1+1)·(y2+1)
=y1y2+(y1+y2)+1.
由
得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0,
有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2,
∴|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1
=y′2+(y′+2)2-2y′+1
=22+,
当y′=-,x′=时,
即P时,|AF|·|BF|取得最小值.
核心考点
试题【已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面积的最大值.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
(1)求椭圆的方程;
(2)求|MN|的最小值;
(3)以MN为直径的圆C是否过定点?请证明你的结论。
(1)求曲线E的方程;
(2)延长PB与曲线E交于另一点Q,求|PQ|的最小值;
(3)若直线l的方程为x=a(a≤),延长PB与曲线E交于另一点Q,如果存在某一位置,使得从PQ的中点R向l作垂线,垂足为C,满足PC⊥QC,求a的取值范围。
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,设是椭圆上的一点,过、两点的直线交轴于点,若, 求的取值范围;
(3)作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.
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