极限

　　定义

　　设为一无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数(不论它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式成立，那么就称常数a是数列的极限，或称数列收敛于a。记作或。如果上述条件不成立，就说数列发散。[1] 还有一种定义：任给，若在区间外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限a。换句话说，如果存在某，使数列中有无穷多个项落在之外，则一定不以a为极限。

　　对定义的理解

　　1、ε的任意性　定义中ε的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越好;而正数ε可以任意地小，说明与常数a可以接近到任何程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它来求出N。又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都是任意小的正数，因此可用它们代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数。另外，定义中的

也可改写成。2、N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的(比如若n>N使成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使成立)。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。另外，定义中的n>N也可改写成n≥N。3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式

成立”意味着：所有下标大于N的都落在(a-ε，a+ε)内;而在(a-ε，a+ε)之外，数列中的项至多只有N个(有限个)。

　　性质

　　1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等;2、有界性：如果一个数列收敛(有极限)，那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，-1，1，-1，……，(-1)n+1 ，……3、保号性：若(或<0)，则对任何(a<0时则是)，存在N>0，使n>N时有(相应的)。4、保不等式性：设数列与均收敛。若存在正数 ，使得当n>N时有，则(若条件换为，结论不变)5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列，都收敛，那么数列也收敛，而且它的极限等于的极限和的极限的和。6、与子列的关系：数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限;数列收敛的充要条件是：数列的任何非平凡子列都收敛。

　　单调收敛定理

　　单调有界数列必收敛。

　　柯西收敛原理

　　设是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有，这样的数列便称为柯西数列。这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即互为充分必要条件。

　　自变量趋于有限值时函数的极限

　　定义 设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数 当时的极限，记作。[1] 解释当x→x0时f(x)正好等于极限a，我们一定能证明x足够接近x0时，f(x)与极限a的差距小于任意不管多小的预先指定的误差。

　　自变量趋于无穷值时函数的极限

　　定义 设函数 当大于某一正数时有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数M ，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限修改公式，记作。

　　函数的左右极限

　　1：如果当x从点x=x0的左侧(即x。2:如果当x从点x=x0右侧(即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作。若一个函数在x0上的左右极限不同，则此函数在x0上不存在极限一个函数是否在x0处存在极限，与它在x=x0处是否有定义无关，只要求y=f(x)在x0附近有定义即可。

　　两个重要极限

　　1、

    2、或(其中e=2.7182818...是一个无理数，也就是自然对数的底数)

　　运算法则

　　设，存在，且令，则有以下运算法则，

　　线性运算

　　加减：数乘：　(其中c是一个常数)

　　非线性运算

　　乘除：( 其中B≠0 )

    幂运算：