题目
题型:不详难度:来源:
已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
(1)求曲线的方程;
(2)曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点,以为直径作圆,过点作圆的切线,切点为,试探究:当点在曲线上运动(点与原点不重合)时,线段的长度是否发生变化?证明你的结论.
答案
解析
试题分析:(1)思路一:设为曲线上任意一点,
依题意可知曲线是以点为焦点,直线为准线的抛物线,
得到曲线的方程为.
思路二:设为曲线上任意一点,
由,化简即得.
(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变,证明如下:
由(1)知抛物线的方程为,
设,得,
应用导数的几何意义,确定切线的斜率,进一步得切线的方程为.
由,得.
由,得.
根据,得圆心,半径,
由弦长,半径及圆心到直线的距离之关系,确定.
试题解析:解法一:(1)设为曲线上任意一点,
依题意,点S到的距离与它到直线的距离相等,
所以曲线是以点为焦点,直线为准线的抛物线,
所以曲线的方程为.
(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变,证明如下:
由(1)知抛物线的方程为,
设,则,
由,得切线的斜率
,
所以切线的方程为,即.
由,得.
由,得.
又,所以圆心,
半径,
.
所以点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.
解法二:
(1)设为曲线上任意一点,
则,
依题意,点只能在直线的上方,所以,
所以,
化简得,曲线的方程为.
(2)同解法一.
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点,以为直径作圆,】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
B. C. D.
如图,已知抛物线,过点任作一直线与相交于两点,过点作轴的平行线与直线相交于点(为坐标原点).
(1)证明:动点在定直线上;
(2)作的任意一条切线(不含轴)与直线相交于点,与(1)中的定直线相交于点,证明:为定值,并求此定值.
在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆交于两点(不是椭圆的顶点).点在椭圆上,且,直线与轴、轴分别交于两点.
(i)设直线的斜率分别为,证明存在常数使得,并求出的值;
(ii)求面积的最大值.
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