题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点）.点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.
（i）设直线的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；
（ii）求面积的最大值.

答案

（1）.（2）（ⅰ）存在常数使得结论成立.（ⅱ）.

解析

试题分析：（1）首先由题意得到，即.
将代入可得，
由，可得.得解.
（2）（ⅰ）注意从确定的表达式入手，探求使成立的.
设，则，
得到，
根据直线BD的方程为，
令，得，即.得到.
由，作出结论.
（ⅱ）直线BD的方程，
从确定的面积表达式入手，应用基本不等式得解.
试题解析：（1）由题意知，可得.
椭圆C的方程可化简为.
将代入可得，
因此，可得.
因此，
所以椭圆C的方程为.
（2）（ⅰ）设，则，
因为直线AB的斜率，
又，所以直线AD的斜率，
设直线AD的方程为，
由题意知，
由，可得.
所以，
因此，
由题意知，
所以，
所以直线BD的方程为，
令，得，即.
可得.
所以，即.
因此存在常数使得结论成立.
（ⅱ）直线BD的方程，
令，得，即，
由（ⅰ）知，
可得的面积，
因为，当且仅当时等号成立，
此时S取得最大值，
所以的面积的最大值为.