题目

题型：不详难度：来源：

如图，是抛物线的焦点，为准线与轴的交点，直线经过点．
（Ⅰ）直线与抛物线有唯一公共点，求的方程；
（Ⅱ）直线与抛物线交于、两点记、的斜率分别为，．（1）求证：为定值；　
（2）若点在线段上，且满足
，求点的轨迹方程．

答案

为定值．，轨迹方程为.

解析

解：由已知得，显然直线的斜率存在。设直线的斜率为，则的方程为
，代入抛物线方程得
⑴ 若，令，此时的方程为
即或。若，方程有唯一解，此时的方程为．
综上，所求直线的方程为：或或．
⑵ 显然，记，则   
，  
①
∵ ∴ 即为定值．
②设动点，∵，       ∴ 
        ∴
令且
∴    ∴ 
综上，点的轨迹方程为.