题目

题型：不详难度：来源：

已知点点分别是轴和轴上的动点，且，动点满足，设动点的轨迹为E.
（1）求曲线E的方程；
（2）点Q（1,a），M,N为曲线E上不同的三点，且，过M,N两点分别作曲线E的切线，记两切线的交点为，求的最小值.

答案

(1);(2).

解析

试题分析：(1)设,利用,用表示的坐标，然后利用,得到的方程，得到点轨迹;
（2）解法一：利用曲线方程,求出点坐标，设，，,通过联立方程，得到的坐标，利用导数，列出过点的切线方程，解出点的坐标，然后再求的最小值，
解法二：利用导数，列出过点的切线方程，解出点的坐标，然后结合,能够得到关于点所满足的方程，再求出的最小值.
试题解析：（1）解：设
，由得     4分
（2）解法一：易知，设，，，
设的方程为
联立方程消去，得，所以.
同理，设的方程为，.      6分
对函数求导，得，
所以抛物线在点处的切线斜率为，
所以切线的方程为，即.
同理，抛物线在点处的切线的方程为.     8分
联立两条切线的方程
解得，，
所以点的坐标为.因此点在直线上. 10分
因为点到直线的距离，
所以，当且仅当点时等号成立．
由，得，验证知符合题意.
所以当时，有最小值.      12分
解法二：由题意，，设，，，
对函数求导，得，
所以抛物线在点处的切线斜率为，
所以切线的方程为，即.
同理，抛物线在点处的切线的方程为.
联立两条切线的方程
解得，，      8分
又
由得
所以点在直线上      10分
因为点到直线的距离，
所以，当且仅当点时等号成立．
有最小值.      12分