题目
题型:不详难度:来源:
(1)若直线PQ过定点,求点A的坐标;
(2)对于第(1)问的点A,三角形APQ能否为等腰直角三角形?若能,试确定三角形APD的个数;若不能,说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)确定抛物线标准方程只需一个独立条件,本题条件为已知通径长所以抛物线的方程为.直线过定点问题,实际是一个等式恒成立问题.解决问题的核心是建立变量的一个等式.可以考虑将直线的斜率列为变量,为避开讨论,可设的方程为,与联立消得,则,设点坐标为,则有,代入化简得:因此,点坐标为,(2)若三角形APQ为等腰直角三角形,则的中点与点A连线垂直于.先求出的中点坐标为,再讨论方程解的个数,这就转化为研究函数增减性,并利用零点存在定理判断零点有且只有一个.
试题解析:(1)设抛物线的方程为,依题意,,
则所求抛物线的方程为. (2分)
设直线的方程为,点、的坐标分别为.
由,消得.由,得,
,.∵,∴.
设点坐标为,则有.
,,
∴或.
∴或, ∵恒成立. ∴.
又直线过定点,即,代入上式得
注意到上式对任意都成立,
故有,从而点坐标为. (8分)
(2)假设存在以为底边的等腰直角三角形,由第(1)问可知,将用代换得直线的方程为.设,
由消,得.
∴ ,.
∵的中点坐标为,即,
∵,∴的中点坐标为.
由已知得,即.
设,则,
在上是增函数.又,,
在内有一个零点.函数在上有且只有一个零点,
所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. (12分)
核心考点
试题【如图,已知抛物线C的顶点在原点,开口向右,过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2,过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点. (1)若直线PQ过定点,】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.2 | B.1 | C. | D. |
A.5 | B. | C.-2 | D.4 |
A. | B. | C. | D. |
(1)若直线AB过点M(2p,0),且=4p,求过A,B,O(O为坐标原点)三点的圆的方程;
(2)设直线OA、OB的倾斜角分别为,且,问直线AB是否会过某一定点?若是,求出这一定点的坐标,若不是,请说明理由.
(1)求的值;
(2)若,求直线的方程;
(3)试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.
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