题目
题型:期末题难度:来源:
(Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由
答案
解(I)设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
则
(1)∵OA⊥OB∴kOA●kOB=﹣1,即x1x2+y1y2=0,
(2)又点A,B在抛物线上,有y1=x12,y2=x22,
代入(2)化简得x1x2=﹣1
∴Y==(x12+x22)=[(x1+x2)2﹣2x1x2]=×(3x)2+=3x2+.
所以重心为G的轨迹方程为y═3x2+.
(II)S△AOB=|OA||OB|==
由(I)得S△AOB=≥=×2=1
当且仅当x12=x22即|x1|=|x2|=1时,等号成立.
所以△AOB的面积存在最小值,存在时求得最小值1
核心考点
试题【在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示).(Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
①若l与x轴不垂直,交抛物线于A、B两点,是否存在x轴上一定点E(m,0),使得∠AEQ=∠BEQ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由?
②若L与X轴垂直,抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点,则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值,试证之.
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。
(I)若函数f(x)与g(x)图象相交于不同的两点A、B,O为坐标原点,试求△OAB的面积S的最大值;
(II)若p和q是方程f(x)﹣g(x)=0的两正根,且 ,证明:当x∈(0,P)时,f(x)<P﹣a.
(1)求证:∠ACB不可能是钝角;
(2)是否存在这样的点C,使得△ABC为正三角形?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
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