题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上。
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

答案

解：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，设B（x，y），
则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12
∵B（4，12）在x²=2py（p＞0）上，
∴
∴p=2，
∴抛物线E的方程为x²=4y；
（2）由（1）知，，
设P（x₀，y₀），
则x₀≠0．l：
即
由得，
∴
取x₀=2，此时P（2，1），Q（0，-1），
以PQ为直径的圆为（x-1）²+y²=2，交y轴于点M₁（0，1）或M₂（0，-1）
取x₀=1，此时P（1，），Q（-，-1），以PQ为直径的圆为（x-）²+（y+）²=2，
交y轴于点M₃（0，1）或M₄（0，-）故
若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），
证明如下：∵
∴=2y₀-2-2y₀+2=0
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）。