题目

题型：期末题难度：来源：

已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x﹣a，其中a∈R，且a≠0．
（I）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值；
（II）若p和q是方程f（x）﹣g（x）=0的两正根，且 ，证明：当x∈（0，P）时，f（x）＜P﹣a．

答案

解：（I）依题意，f（x）=g（x），即ax²+ax=x﹣a，
整理，得ax²+（a﹣1）x+a=0，①
∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，
∴△＞0，即△=（a﹣1）²﹣4a²=﹣3a²﹣2a+1=（3a﹣1）（﹣a﹣1）＞0．
∴﹣1＜a＜且a≠0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，
由①得，x₁x₂=1＞0，x₁+x₂=﹣．
设点O到直线g（x）=x﹣a的距离为d，则d=，
∴S_△OAB==．
∵﹣1＜a＜且a≠0，∴当a=﹣时，S_△OAB有最大值；
（II）证明：由题意可知f（x）﹣g（x）=a（x﹣p）（x﹣q）
∴f（x）﹣（p﹣a）=a（x﹣p）（x﹣q）+x﹣a﹣（p﹣a）=（x﹣p）（ax﹣aq+1），
当x∈（0，p）时，x﹣p＜0，且ax﹣aq+1＞1﹣aq＞0，
∴f（x）﹣（p﹣a）＜0，
∴f（x）＜p﹣a．