题目

题型：山东省期末题难度：来源：

已知抛物线y²=4x的焦点为F．
（1）若直线l过点M（4，0），且F到直线l的距离为2，求直线l的方程；
（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与X轴垂直，若线段AB中点的横坐标为2．求证：线段AB的垂直平分线恰过定点．

答案

（1）解：由已知，抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），x=4不合题意，
设直线l的方程为y=k（x﹣4）
∵F到直线l的距离为2，
∴，
∴k=±
∴直线l的方程为y=±（x﹣4）
（2）证明：设A，B的坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB不与x轴垂直，
∴设直线AB的方程为y=kx+b代入抛物线方程，消元可得k²x²+（2bk﹣4）+b²=0
∴x₁+x₂=
∵线段AB中点的横坐标为2
∴=4
∴b=
∵线段AB中点的坐标为（2，2k+b）
∴AB的垂直平分线方程为：y﹣（2k+b）=﹣（x﹣2）
∵b=
∴方程可化为x+4y﹣4=0，显然过定点（4，0）
∴线段AB的垂直平分线恰过定点