直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值，及点A的坐标；（Ⅱ）求过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．
（Ⅰ）求实数b的值，及点A的坐标；
（Ⅱ）求过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程．

答案

（Ⅰ）直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y联立，消去y，可得x²-4x-4b=0．（*）
因为直线l与抛物线C相切，所以△=（-4）²-4×（-4b）=0，解得b=-1；
代入方程（*）即为x²-4x+4=0，解得x=2，y=1，故点A（2，1）．
（Ⅱ）设过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程为y=kx-1．
与抛物线C：x²=4y联立，消去y，可得x²-4kx+4=0，
因为直线l与抛物线C相切，所以△=（-4k）²-4×4=0，解得k=±1，
所以过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程为y=±x-1．

核心考点

试题【直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值，及点A的坐标；（Ⅱ）求过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程．】；主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]

举一反三

一个截面为抛物线形的旧河道（如图1），河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形（如图2），要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．
（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；
（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

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已知直线l₁：3x-4y-9=0和直线l2：y=-

，抛物线y=x²上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是______．

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若圆（x-3）²+y²=16与抛物线y²=2px（p＞0）的准线相切，则p值为（　　）

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已知点P是抛物线y²=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当\|a\|＞4时，\|PA\|+\|PM\|的最小值是______．