题目
题型:不详难度:来源:
已知函数的零点的集合为{0,1},且是f(x)的一个极值点。
(1)求的值;
(2)试讨论过点P(m,0)与曲线y=f(x)相切的直线的条数。
答案
当时,,方程①无解,此时过点与曲线相切的直线仅有一条;
当或时,,方程①有两个不同的实根,此时过点与曲线相切的直线有三条.
解析
试题分析:(Ⅰ)函数的零点的集合为,则方程 的解可以为,或.
∴或.
①若,则.
当,或时,,函数为增函数;当,,函数为减函数;
∴,为函数的极值点.与题意不符.
②若,则
当,或时,,函数为增函数;当,,函数为减函数;
∴,为函数的极值点.
综上,函数,即,
而,故,∴ …6分
(Ⅱ)设过点的直线与曲线切于点,
由(Ⅰ)知,∴曲线在点处的切线方程为,
∵满足此方程,故,又
即,∴.
,或…①,关于的方程的判别式
当或时,,方程①有两等根或,此时,过点或与曲线相切的直线有两条;
当时,,方程①无解,此时过点与曲线相切的直线仅有一条;
当或时,,方程①有两个不同的实根,此时过点与曲线相切的直线有三条. …12分
点评:利用导数求曲线的切线方程,我们一定要分清是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”。对于“在某点处的切线”的问题,这一点就是切点,直接根据导数的几何意义写出切线方程即可。对于“过某点的切线”问题,我们一般要把切点坐标设出来解决。
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知函数的零点的集合为{0,1},且是f(x)的一个极值点。(1)求的值;(2)试讨论过点P(m,0)与曲线y=f(x)相切的直线的条数。】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若函数f(x)为集合M中的任意一个元素,证明:方程f(x)一x=0只有一个实根;
(2)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;
(3)设函数f(x)为集合M中的任意一个元素,对于定义域中任意,
证明:
已知函數f(x)=ln+mx2(m∈R)
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数f(x)图象上不同的两点,且a>b>0, 为f(x)的导函数,求证:
(III)求证
已知函数,是的导函数(为自然对数的底数)
(Ⅰ)解关于的不等式:;
(Ⅱ)若有两个极值点,求实数的取值范围.
设,点P(,0)是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.
(1)用表示a,b,c;
(2)若函数在(-1,3)上单调递减,求的取值范围.
(1)若函数有三个零点,且,,求函数 的单调区间;
(2)若,,试问:导函数在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由.
(3)在(Ⅱ)的条件下,若导函数的两个零点之间的距离不小于,求的取值范围.
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