题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:M点的轨迹是抛物线,并求出其方程;
(2)大家知道,过圆上任意一点P,任意作互相垂直的弦PA、PB,则弦AB必过圆心(定点).受此启发,研究下面问题:
1过(1)中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB,问:弦AB是否经过一个定点?若经过,请求出定点坐标,否则说明理由;2研究:对于抛物线上某一定点P(非顶点),过P任意作互相垂直的弦PA、PB,弦AB是否经过定点?
答案
根据抛物线的定义可知,M的轨迹是抛物线
所以抛物线方程为:y2=4x
(2)
(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),
lAB:y=kx+b,(b≠0)由
|
b2 |
k2 |
∵OA⊥OB,∴
OA |
OB |
4b |
k |
所以x1x2+(x1x2)2=0,b≠0,∴b=-2k,∴直线AB过定点M(1,0),
(ii)设p(x0,y0)设AB的方程为y=mx+n,代入y2=2x
得y2-2my=-2n=0
∴y1+y2=2m,y1y2-2n其中y1,y2分别是A,B的纵坐标
∵AP⊥PB∴kmax•kmin=-1
即
y1-y0 |
x1-x0 |
y2-y0 |
x2-x0 |
∴(y1+y0)(y2+y0)=-4
•y1y2+(y1+y2)y0+y02-4=0
(-2n)+2my0+2x0+4=0,
=my0+x0+2
直线PQ的方程为x=my+my0+x0+2,
即x=m(y+y0)+x0+2,它一定过点(x0+2,-y0)
核心考点
试题【已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.(1)求证:M点的轨迹是抛物线,并求出其方程;(2)大家知道,过圆上任意一点P,任意作互相垂直】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
PN |
1 |
2 |
NM |
0 |
PM |
PF |
(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立,请说明理由.
(Ⅰ)求抛物线C1的方程;
(Ⅱ)过点P(0,-2)的直线交抛物线C1于A,B两点,设抛物线C1在点A,B处的切线交于点M,
(ⅰ)求点M的轨迹C2的方程;
(ⅱ)若点Q为(ⅰ)中曲线C2上的动点,当直线AQ,BQ,PQ的斜率kAQ,kBQ,kPQ均存在时,试判断
kPQ |
kAQ |
kPQ |
kBQ |
(I)求抛物线S的方程;
(II)若O是坐标原点,P、Q是抛物线S上的两动点,且满足PO⊥OQ.试说明动直线PQ是否过一个定点.
OP |
OQ |
(Ⅰ)若P,Q 到x 轴的距离的积为4,求p的值;
(Ⅱ)若p为已知常数,在x 轴上,是否存在异于E 的一点F,使得直线PF 与抛物线的另一交点为R,而直线RQ 与x 轴相交于T,且有
TR |
TQ |
x2 |
100 |
y2 |
25 |
64 |
7 |
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?
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