题目
题型:不详难度:来源:
(I)求抛物线S的方程;
(II)若O是坐标原点,P、Q是抛物线S上的两动点,且满足PO⊥OQ.试说明动直线PQ是否过一个定点.
答案
由
|
由△>0,有p>0,或p<-160.
设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=-
p |
2 |
∴x1+x2=(5-
y1 |
4 |
y2 |
4 |
y1+y2 |
4 |
p |
8 |
设A(x3,y3),由△ABC的重心为F(
p |
2 |
x1+x2+x3 |
3 |
p |
2 |
y1+y2+y3 |
3 |
∴x3=
11p |
8 |
p |
2 |
∵点A在抛物线S上,
∴(
p |
2 |
11p |
8 |
∴p=8.(7分)
∴抛物线S的方程为y2=16x.(8分)
(II)当动直线PQ的斜率存在时,
设动直线PQ方程为y=kx+b,显然k≠0,b≠0.(9分)
∵PO⊥OQ,
∴kOP•kOQ=-1.
设P(xP,yP)Q(xQ,yQ)
∴
yP |
xP |
yQ |
xQ |
∴xPxQ+yPyQ=0.(10分)
将y=kx+b代入抛物线方程,得ky2-16y+16b=0,
∴yPyQ=
16b |
k |
从而xPxQ=
yP2•yQ2 |
162 |
b2 |
k2 |
∴
b2 |
k2 |
16b |
k |
∵k≠0,b≠0,
∴b=-16k,
∴动直线方程为y=kx-16k=k(x-16),
此时动直线PQ过定点(16,0).(12分)
当PQ的斜率不存在时,显然PQ⊥x轴,又PO⊥OQ,
∴△POQ为等腰直角三角形.
由
|
|
此时直线PQ亦过点(16,0).(13分)
综上所述,动直线PQ过定点:M(16,0).(14分)
核心考点
试题【已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0.(I)求】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
OP |
OQ |
(Ⅰ)若P,Q 到x 轴的距离的积为4,求p的值;
(Ⅱ)若p为已知常数,在x 轴上,是否存在异于E 的一点F,使得直线PF 与抛物线的另一交点为R,而直线RQ 与x 轴相交于T,且有
TR |
TQ |
x2 |
100 |
y2 |
25 |
64 |
7 |
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?
a |
MN |
a |
MN |
MF |
MG |
MG |
MN |
MF |
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,若α+β=θ为定值(0<θ<π),试问直线AB是否恒过定点,若AB恒过定点,请求出该定点的坐标,若AB不恒过定点,请说明理由.
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