题目

题型：重庆市高考真题难度：来源：

已知以原点O为中心，F（，0）为右焦点的双曲线C的离心率，
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(Ⅱ)如图，已知过点M(x₁，y₁)的直线l₁：x₁x+4y₁y=4与过点N(x₂，y₂)(其中x₂≠x₁)的直线l₂：x₂x+4y₂y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求的值。

答案

解：(Ⅰ)设C的标准方程为，
则由题意，
又，
因此，
C的标准方程为，
C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0。 (Ⅱ)如图，由题意点E(x_E，y_E)在直线l₁：x₁x+4y₁y=4和l₂：x₂x+4y₂y=4上，
因此有x₁x_E+4y₁y_E=4，x₂x_E+4y₂y_E=4，
故点M、N均在直线x_Ex+4y_Ey=4上，
因此直线MN的方程为x_Ex+4y_Ey=4，
设G、H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，
由方程组及，
解得，
故，
因为点E在双曲线上，
有，
所以。