题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线，
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求Q点的坐标。

答案

解：（1）设双曲线方程为，由椭圆，求得两焦点为，
∴对于双曲线C：c=2，
又为双曲线C的一条渐近线，
∴，解得，
∴双曲线C的方程为。（2）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，
设l的方程：，，
则，
，
∴，
∴，
∵在双曲线C上，
∴，
∴，
∴，
同理有：，
若则直线l过顶点，不合题意，∴，
∴是二次方程的两根，
∴，∴，
此时△＞0，∴k=±2，
∴所求Q的坐标为（±2，0）。