题目

题型：天津高考真题难度：来源：

已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c>0），过点E（，0）的直线与椭圆相交于A、B两点，且F₁A∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F₂B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF₁C的外接圆上，求的值。

答案

解：（1）由F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，得

从而
整理，得a²=3c²
故离心率；
（2）由（1），得
所以椭圆的方程可写为
设直线AB的方程为
即
由已知设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则它们的坐标满足方程组
消去y并整理，得
依题意，
而

由题设知，点B为线段AE的中点，所以x₁+3c=2x  ③
联立①③解得
将x₁、x₂代入②中，解得；
（3）由（2）可知
当时，得
由已知得
线段AF₁的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点是△AF₁C的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为
直线F₂B的方程为
于是点H（m，n）满足方程组
由m≠0，解得
故
当时，同理可得。