题目

题型：江西省高考真题难度：来源：

设椭圆C₁：，抛物线C₂：x²+by=b²，
(Ⅰ)若C₂经过C₁的两个焦点，求C₁的离心率；
(Ⅱ)设A(a，b) ，，又M、N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B(0，
b)，且△QMN的重心在C₂上，求椭圆C₁和抛物线C₂的方程。

答案

解：(Ⅰ)因为抛物线C₂经过椭圆C₁的两个焦点F₁(-c，0)，F₂(c，0)，
可得c²=b²，由a²=b²+c²=2c²，有，
所以椭圆C₁的离心率；
(Ⅱ)由题设可知M，N关于y轴对称，设M(-x₁，y₁)，N(x₁，y₁)，(x₁＞0)，
则由△AMN的垂心为B，有，
所以，①
由于点N(x₁，y₁)在C₂上，故有x₁²+by₁=b²， ②
由①②得或y₁=b（舍去），所以，
故，
所以△QMN的重心为，
因重心在C₂上得，所以b=2，，
又因为M，N在C₁上，所以，得，
所以椭圆C₁的方程为，抛物线C₂的方程为x²+2y=4。