题目

题型：广东模拟难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

a2-1

=1(a＞1)的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y²=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），直线F₁M与抛物线C相切．
（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；
（Ⅱ）若M、N两点恒在该椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围．

答案

（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1（1分）
所以椭圆焦点为F₁（-1，0）F₂（1，0）（2分）
又抛物线C的焦点为(

p

2

，0)∴

p

2

=1，p=2，∴C：y²=4x（3分）
∵M（x₁，y₁）在抛物线C上，
∴y₁²=4x₁，直线F₁M的方程为y=

y1

x1+1

(x+1)（4分）
代入抛物线C得y₁²（x+1）²=4x（x₁+1）²，即4x₁（x+1）²=4x（x₁+1）²∴x₁x²-（x₁²+1）x+x₁=0，（5分）
∵F₁M与抛物线C相切，∴△=（x₁²+1）²-4x₁²=0，（6分）∴x₁=1，∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．（7分）
（Ⅱ）∵M、N两点在椭圆内部，∴|F₁M|+|F₂M|＜2a（9分）
即

22+22

+2＜2a，∴a＞

2

+1，（11分）
∴

1

a

＜

1

2 +1

=

2

-1，（12分）
∵c=1，∴离心率e=

1

a

＜

2

-1，（13分）
又e＞0，∴椭圆离心率的取值范围为(0，

2

-1)（14分）