题目

题型：不详难度：来源：

设F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点，若该椭圆上一点P满足|PF₂|=|F₁F₂|，且以原点O为圆心，以b为半径的圆与直线PF₁有公共点，则该椭圆离心率e的取值范围是______．

答案

∵点P在椭圆C上，∴根据椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=2a．
又∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，∴|PF₁|=2a-2c
过点F₂作F₂D⊥PF₁于D点，过点O作OE⊥PF₁于E点，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴△PF₁F₂是等腰三角形，可得D是PF₁的中点，DF₁=

1

2

|PF₁|=a-c，
Rt△DF₁F₂中，|DF₁|²+|DF₂|²=|F₁F₂|²，
∴|DF₂|=

|F1F2|2-|DF1|2

=

4c2-(a-c)2

=

3c2+2ac-a2

．
∵△DF₁F₂中，OE是中位线，∴|OE|=

1

2

|DF₂|=

1

2

3c2+2ac-a2

．
又∵以原点O为圆心，以b为半径的圆与直线PF₁有公共点，
∴原点O到直线PF₁的距离小于b，即|OE|≤b，得

1

2

3c2+2ac-a2

≤b，
化简得3c²+2ac-a²≤4（a²-c²），即7c²+2ac-5a²≤0，两边都除以a²得7e²+2e-5≤0，解之得-1≤e≤

5

7

．
结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得0＜e≤

5

7

．
又∵等腰△PF₁F₂中，|PF₂|+|F₁F₂|＞|PF₂|，
∴2c+2c＞2a-2c，得a＜3c，所以e=

c

a

＞

1

3

．
综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是(

1

3

，

5

7

]．
故答案为：(

1

3

，

5

7

]