题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，-b），则椭圆的离心率的取值范围为（　　）

A．(0， 6 3 ]

B．[ 6 3 ，1)

C．(0， 2 2 ]

D．[ 2 2 ，1)

答案

设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，
则

x2

a2

+

y2

b2

=1，化为x2=a2(1-

y2

b2

)．
∴|PA|²=x²+（y-b）²=a2(1-

y2

b2

)+(y-b)2=-

c2

b2

(y-

-b3

c2

)2+

a4

c2

=f（y），
∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，-b），
由二次函数的单调性可知：f（y）在（-b，b）单调递减，
∴

-b3

c2

≤-b，
化为c²≤b²=a²-c²，即2c²≤a²，
∴e≤

2

2

．
又e＞0．
∴离心率的取值范围是(0，

2

2

]．
故选：C．