题目
题型:不详难度:来源:
A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心O,且AC⊥BC,|BC|=2|AC|.
(1)求点C的坐标及椭圆E的方程;
(2)若椭圆E上存在两点P、Q,使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴,试判断向量与是否共线,并给出证明.
答案
解析
∴|OC|=|AC|.又A(2,0),∠ACB=90°,
∴C(,), 3分
∵a=2,将a=2及C点坐标代入椭圆方程得
=1,∴b2=4,
∴椭圆E的方程为:="1. " 7分
(2)对于椭圆上两点P、Q,∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴,∴PC与CQ所在直线关于直线x=对称,设直线PC的斜率为k,则直线CQ的斜率为-k,
∴直线PC的方程为y-=k(x-),
即y=k(x-)+. ①
直线CQ的方程为y=-k(x-)+, ② 10分
将①代入=1,
得(1+3k2)x2+6k(1-k)x+9k2-18k-3="0, " ③
∵C(,)在椭圆上,∴x=是方程③的一个根.
∴xP·=,∴xP=,同理可得,xQ=,
∴kPQ==. 14分
∵C(,),∴B(-,-),
又A(2,0),∴kAB==, 15分
∴kAB=kPQ,∴向量与向量共线. 16分
核心考点
试题【如图所示,已知A、B、C是椭圆E:=1(a>b>0)上的三点,其中点 A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心O,且AC⊥BC,|BC|=2|AC|.(1)求点】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;
(2)经过两点A(0,2)和B.
(1)求k的取值范围;
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.
A. | B. | C. | D. |
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