题目
题型:不详难度:来源:
(1)若λ为常数,试用直线l的斜率k(k≠0)表示三角形OAB的面积;
(2)若λ为常数,当三角形OAB的面积取得最大值时,求椭圆E的方程;
(3)若λ变化,且λ=k2+1,试问:实数λ和直线l的斜率k(k∈R)分别为何值时,椭圆E的短半轴长取得最大值?并求出此时的椭圆方程。
答案
解析
(1)∵直线L:y=k(x+1)交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
并且(λ≥2)
∴(x1+1,y1)=λ(-1-x2,-y2),即……②
把y=k(x+1)代入椭圆方程,得:(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0,且△=k2(3b2-1)+b2>0,
∴……③……④ (3分)
∴
联立②、③得:∴(5分)
(2)
当且仅当即时,S△OAB取得最大值。
此时,又∵x1+1=-λ(x2+1),
∴,代入④得:故此时椭圆的方程为
(10分)
(3)由②.③联立得:将x1.x2代入④得:由k2=λ-1
得:
易知:当λ≥2时,3b2是λ的减函数,故当λ=2时,(3b2)max=3.故当λ=2,
k=±1时,椭圆短半轴长取得最大值,此时椭圆方程为x2+3y2=3。(14分)
核心考点
试题【(本小题满分14分)椭圆E的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率,过点C(-1,0)的直线l交椭圆于A、B两点,且满足:(λ≥2)。(1)若λ为常数,试用直线l的】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. B. C. D.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若在椭圆上存在点,满足(为坐标原点),
求实数的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当取何值时,的面积最大,并求出这个最大值.
设椭圆的离心率,右焦点到直线的距离为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(II)过点作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于两点,证明:点到直线的距离为定值,并求弦长度的最小值.
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