题目

题型：不详难度：来源：

(14分)已知、是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足为坐标原点)，，若椭圆的离心率等于
(1)求直线AB的方程；  (2)若的面积等于，求椭圆的方程；
(3)在(2)的条件下，椭圆上是否存在点M使得的面积等于？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

答案

 解： （Ⅰ）由知直线AB经过原点，又由
因为椭圆离心率等于，故
椭圆方程写成，设所以，
故直线AB的斜率，因此直线AB的方程为 
（Ⅱ）连接AF­₁、BF₁，由椭圆的对称性可知，
所以故椭圆方程为 
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得
假设在椭圆上存在点M使得的面积等于，设点M到直线AB的距离为d，则应有，所以 
设直线,与AB平行且与AB距离为4，则M在直线上，直线方程为与椭圆方程联立消去x得方程
即故在椭圆上不存在点M使得的面积等于

解析

略