题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分15分）
已知椭圆： （）的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程； 
（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.
（i）求点的轨迹的方程；
（ii）若为点的轨迹的过点的两条相互垂直的弦，求四边形面积的最小值．

答案

解：
（1）∵，∴＝＝＝，∴.           （2分）
∵直线与圆相切，∴，，∴.
∴椭圆的方程是.                               （2分）
（2）（i）∵
∴动点到定直线的距离等于它到定点的距离，
∴动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线．
∴点的轨迹的方程为：.                                （4分）
（ii）由题意可知：直线的斜率存在且不为零，          （1分）
令：，
则：
由韦达定理知：
由抛物线定义知：
      （2分）
而：
同样可得：                       （2分）
则：
（当且仅当时取“”号）
所以四边形面积的最小值是：8                            （2分）

解析

略