题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆的左,右两个顶点分别为、.曲线是以、两点为顶点,离心率为的双曲线.设点在第一象限且在曲线上,直线与椭圆相交于另一点.
(1)求曲线的方程;
(2)设、两点的横坐标分别为、,证明:;
(3)设与(其中为坐标原点)的面积分别为与,且,求的取值范围.
答案
(1) 依题意可得,.
设双曲线的方程为,
因为双曲线的离心率为,所以,即.
所以双曲线的方程为.
(2)证法1:设点、(,,),直线的斜率为(),
则直线的方程为,
联立方程组
整理,得,
解得或.所以.
同理可得,.
所以.
证法2:设点、(,,),
则,.
因为,所以,即.
因为点和点分别在双曲线和椭圆上,所以,.
即,.
所以,即.
所以.
证法3:设点,直线的方程为,
联立方程组
整理,得,
解得或.
将代入,得,即.
所以.
(3)解:设点、(,,),
则,.
因为,所以,即.
因为点在双曲线上,则,所以,即.
因为点是双曲线在第一象限内的一点,所以.
因为,,
所以.
由(2)知,,即.
设,则,
.
设,则,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
因为,,
所以当,即时,.
当,即时,.
所以的取值范围为.
解析
核心考点
试题【(本小题满分14分)已知椭圆的左,右两个顶点分别为、.曲线是以、两点为顶点,离心率为的双曲线.设点在第一象限且在曲线上,直线与椭圆相交于另一点.(1)求曲线的方】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的离心率;
(2)过点的直线交椭圆于不同两点、,且,当的面积最大时,求直线的方程.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求以线段的中点为圆心且与直线相切的圆的方程.
A. | B. | C. | D. |
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点,求的面积。
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