题目
题型:不详难度:来源:
如果两个椭圆的离心率相等,那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆与椭圆相似,且椭圆的一个短轴端点是抛物线的焦点.
(Ⅰ)试求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆的中心在原点,对称轴在坐标轴上,直线与椭圆交于两点,且与椭圆交于两点.若线段与线段的中点重合,试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆?并证明你的判断.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)椭圆的离心率为, 抛物线的焦点为.
设椭圆的方程为,由题意,得: ,解得,
∴椭圆的标准方程为 . ………………………………4分
(Ⅱ)解法一:椭圆与椭圆是相似椭圆. ………………………………5分
联立和的方程,,消去,得, ……6分
设的横坐标分别为,则.
设椭圆的方程为, …………………………………7分
联立方程组,消去,得,
设的横坐标分别为,则.
∵弦的中点与弦的中点重合,∴,,
∵,∴化简得, ……………………………10分
求得椭圆的离心率, ………………………12分
∴椭圆与椭圆是相似椭圆.
解法二:(参照解法1评分)
设椭圆的方程为,.
∵在椭圆上,∴且,两式相减并恒等变形得.
由在椭圆上,仿前述方法可得.
∵弦的中点与弦的中点重合,
∴,求得椭圆的离心率, 即椭圆与椭圆是相似椭圆.
点评:综合题,判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆,主要是要把握好“如果两个椭圆的离心率相等,那么就称这两个椭圆相似”这一定义,“点差法”是常用方法.
核心考点
试题【(本小题满分12分) 如果两个椭圆的离心率相等,那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆与椭圆相似,且椭圆的一个短轴端点是抛物线的焦点.(Ⅰ)试求椭圆的标准方程;(Ⅱ)】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的离心率; (2)若过、、三点的圆恰好与直线:相切,
求椭圆的方程;
A.时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆 | B.时,曲线C是圆 |
C.时,曲线C是双曲线 | D.时,曲线C是椭圆 |
已知椭圆过点,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)为椭圆的左右顶点,点是椭圆上异于的动点,直线分别交直线于两点.
证明:以线段为直径的圆恒过轴上的定点.
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