题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）
已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.  
证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点.

答案

（1）； （2）

解析

试题分析：（1）由题意可知，， …………1分  而，……………2分
且.  …………3分       解得，……………4分
所以，椭圆的方程为.    ……………5分
（2）由题可得.设，   ……………6分
直线的方程为，    ……………7分
令，则，即； ……………8分
直线的方程为，   ……………9分
令，则，即； ……………10分
证法1：设点在以线段为直径的圆上，则，
即，         …………11分
，而，即，，或.                               ……………13分
故以线段为直径的圆必过轴上的定点
、.                                  ……………14分
证法2：以线段为直径的圆为
即          ………11分
令，得，    ……………12分
而，即，，或 
……………13分
故以线段为直径的圆必过轴上的定点
、.                          ……………14分
证法3：令，则，令，得，同理得.
∴以为直径的圆为，令解得 
∴圆过                          ……………11分
由前，对任意点,可得,  
∴∴在以为直径的圆上.
同理，可知也在为直径的圆上.                   ……………13分
∴故以线段为直径的圆必过轴上的定点
、.                  …………………14分
点评：此题的第二问给出了三种方法来解答，我们要熟练掌握每一种方法。这是作圆锥曲线有关问题的基础。属于中档题。