题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,a²与b²的等差中项为.
(1)求椭圆E的方程.
(2)A,B是椭圆E上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(t,0),求实数t的取值范围.

答案

(1) +=1   (2) (-,)

解析

(1)由题意得
解得:.即椭圆E的方程为+=1.
(2)设A,B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂).
因线段AB的垂直平分线与x轴相交,
故AB不平行于y轴,即x₁≠x₂.
又交点为P(t,0),故|PA|=|PB|,
即(x₁-t)²+=(x₂-t)²+,
∴t=+　①
∵A,B在椭圆上,∴=4-,=4-.
将上式代入①,得t=.
又∵-3≤x₁≤3,-3≤x₂≤3,且x₁≠x₂,
∴-6<x₁+x₂<6,则-<t<,
即实数t的取值范围是(-,).