题目

题型：不详难度：来源：

设点P是圆x²＋y²＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP₀，垂足为P₀，且＝.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(m≠0)与(1)中的轨迹C交于不同的两点A，B.
若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围．

答案

（1）＝1（2）(－，0)∪(0，)

解析

(1)设点M(x，y)，P(x₀，y₀)，则由题意知P₀(x_0,0)．
由＝(x₀－x，－y)，＝(0，－y₀)，且＝，得
(x₀－x，－y)＝ (0，－y₀)．
∴于是 
又＋＝4，∴x²＋y²＝4.∴点M的轨迹C的方程为＝1.
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．联立
得(3＋4k²)x²＋8mkx＋4(m²－3)＝0.
∴Δ＝(8mk)²－16(3＋4k²)(m²－3)＞0，
即3＋4k²－m²＞0.(*)且
依题意，k²＝，即k²＝.
∴x₁x₂k²＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m².
∴km(x₁＋x₂)＋m²＝0，即km＋m²＝0.
∵m≠0，∴k＋1＝0，解得k²＝.
将k²＝代入(*)，得m²＜6.∴m的取值范围是(－，0)∪(0，)．