题目

题型：不详难度：来源：

如图，点为椭圆右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切与点。

（1）求的值及椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中是椭圆上的点，为原点，直线与的斜率之积为，求证：为定值。

答案

（1），；（2）详见解析

解析

试题分析：（1）由圆的方程可知圆心为，半径为。因为在圆上所以它与圆心间的距离等于半径，可求得的值。有的值后便可求的切线的方程，与轴交点即为椭圆的右焦点。从而可得椭圆的方程。（2）设，根据可得与间的关系。将代入椭圆方程再根据直线与的斜率之积为可得间的关系，即间的关系。
试题解析：解：（1）由题意可知，又  又      2分
在中，，
故椭圆的标准方程为：             6分
（2）设
∵M、N在椭圆上，∴
又直线OM与ON的斜率之积为，∴，
于是
  故为定值       13分