题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆E：＋y²＝1(a＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.
(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程；
(2)若Rt△MAB面积的最大值为，求a；
(3)对于给定的实数a(a＞1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由．

答案

（1）＋y²＝1.（2）a＝3（3）

解析

(1)由题，a²＝c²＋1，d＝＝＝c＋≥2，当c＝1时取等号，此时a²＝1＋1＝2，故椭圆E的方程为＋y²＝1.
(2)不妨设直线MA的斜率k>0，直线MA方程为y＝kx＋1，由
①代入②整理得(a²k²＋1)x²＋2a²kx＝0，
解得x_A＝－，故A，
由MA⊥MB知直线MB的斜率为－，可得B，
则MA＝，MB＝.
则S_△MAB＝MA·MB＝(1＋k²)
＝.
令k＋＝t(t≥2)，
则S_△MAB＝.
当t＝时取“＝”，∵t＝≥2，得a>＋1.而(S_△MAB)_max＝，故a＝3或a＝(舍)．综上a＝3.
(3)由对称性，若存在定点，则必在y轴上．
当k＝1时，A，直线AB过定点Q.下面证明A、Q、B三点共线：
∵k_AQ＝，
k_BQ＝.
由k_AQ＝k_BQ知A、Q、B三点共线，即直线AB过定点Q.