题目

题型：0125 模拟题难度：来源：

已知椭圆C：（m＞0），经过其右焦点F且以=（1，1）为方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆C于N点。
（1）证明：；
（2）求的值。

答案

解：（1）∵，
∴
∴
∵直线l过焦点且与向量平行
∴直线l的方程为：
将其代入椭圆C的方程，并整理可得：  ①
设，，，
∵M是线段AB的中点，在方程①中由韦达定理，可得：
 ，
∴
设为OM延长线上的点，且M为O的中点，则，
且四边形OAB为平行四边形
将的坐标代入椭圆C方程的左端并化简得
∴点在椭圆C上，与N点重合
∴四边形OANB为平行四边形
于是。
（2）
在方程①中由韦达定理，得
∴

∴。