题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知椭圆经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）由离心率为，可设，则
因为经过点A（2，1）
所以，解得，
所以a²=6，b²=3
所以椭圆方程为
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣3），
直线l与椭圆的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由，消元整理得：（1+2k²）x²﹣12k²x+18k²﹣6=0
△=（12k²）²﹣4（1+2k²）（18k²﹣6）＞0得 0≤k²＜1
，
∴=（x₁﹣3，y₁）（x₂﹣3，y₂）=（x₁﹣3）（x₂﹣3）+y₁y₂
                   =（1+k²）[x₁x₂﹣3（x₁+x₂）+9]==
因为0≤k²＜1，
所以
所以的取值范围是（2，3]．