题目
题型:安徽省模拟题难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)P(2,3),Q(2,﹣3)是椭圆上两点,A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点,
(i)若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
答案
解:(Ⅰ)设C方程为,则.
由,得a=4
∴椭圆C的方程为.
(Ⅱ)(i)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB的方程为,
代入,得x2+tx+t2﹣12=0
由△>0,解得﹣4<t<4
由韦达定理得x1+x2=﹣t,x1x2=t2﹣12.
四边形APBQ的面积
∴当t=0,.
(ii)解:当∠APQ=∠BPQ,则PA、PB的斜率之和为0,
设直线PA的斜率为k则PB的斜率为﹣k,
PA的直线方程为y﹣3=k(x﹣2)
由
(1)代入(2)整理得
(3+4k2)x2+8(3﹣2k)kx+4(3﹣2k)2﹣48=0
同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k(x﹣2),
可得
∴
所以AB的斜率为定值.
核心考点
试题【已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)P(2,3),Q(2,﹣3)是椭圆上两点,A、B是】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在这样的直线使得直线l与椭圆交于M,N两点,且椭圆右焦点F2恰为△BMN的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明由..
(I)求曲线E的方程;
(II)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A、B两点,,当点M在曲线E上时,求四边形OAMB的面积.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点,若三角形OAB的面积为,求直线AB的方程.
(Ⅰ)试探究:椭圆上的任意一点与任意过椭圆中心但不过该点的弦的端点连线的斜率(若斜率存在)之积是否为定值,若是请求出该定值;
(Ⅱ)写出类比圆的性质(2)得到的椭圆的类似性质,并证明之。
(1)求出这个椭圆的方程;
(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,使∠AOB=90°(其中O为坐标原点)?若存在,求出直线l的斜率k,若不存在,请说明理由.
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