题目
题型:广东省月考题难度:来源:
已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点.
(1)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长;
(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率时,求椭圆的长轴长的最大值.
答案
∴a=,b=,
∴椭圆的方程为.
联立,消去y得:5x2﹣6x﹣3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则,,
∴|AB|==
=.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵,∴,即x1x2+y1y2=0,
由,消去y得(a2+b2)x2﹣2a2x+a2(1﹣b2)=0,
由△=(﹣2a2)2﹣4a2(a2+b2)(1﹣b2)>0,整理得a2+b2>1
∵,,
∴y1y2=(﹣x1+1)(﹣x2+1)=x1x2﹣(x1+x2)+1,
∴x1x2+y1y2=0,得:2x1x2﹣(x1+x2)+1=0,
∴,
整理得:a2+b2﹣2a2b2=0.
∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2,代入上式得
2a2=1+,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴适合条件a2+b2>1.
由此得,
∴,
故长轴长的最大值为.
核心考点
试题【已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点.(1)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长;(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率时,】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求点F1关于直线l的对称点F1"的坐标;
(Ⅱ)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程;
(Ⅲ)设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点,点Q为线段AB上的动点,求点Q 到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点Q的坐标.
(1)求出这个椭圆的方程;
(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同两点A、B,使∠AOB=90°(其中O为坐标原点)?若存在,求出直线l的斜率k,若不存在,请说明理由.
(1)求椭圆C的方程.
(2)点M的坐标为,过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点.对于任意的是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理.
|OC|,|OD|成等比数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若E是椭圆长轴的左端点,动点M满足MC⊥CE,连接EM,交椭圆于点P,在x轴上有异于点E的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点,求点Q的坐标.
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