题目

题型：广西自治区月考题难度：来源：

若F₁、F₂分别是椭圆的左右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且．
（1）求出这个椭圆的方程；
（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k，若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵F₁、F₂分别是椭圆的左右焦点，P是该椭圆上的一个动点，
且|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2，
∴，即a=2，c=，
∴，
∴椭圆方程为．
（2）当l的斜率不存在时，即x=0不满足题设条件
设l为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，∴，
∴，
∵∠AOB=90°，
∴，

∴k²=4，k=±2．