题目

题型：广东省同步题难度：来源：

一束光线从点F₁（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F₂（1，0）．      
（Ⅰ）求点F₁关于直线l的对称点F₁"的坐标；
（Ⅱ）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（Ⅲ）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q 到F₂的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标．

答案

解：（Ⅰ）设F₁的坐标为（m，n），则且．
解得，因此，点F₁"的坐标为（﹣）．
（Ⅱ）∵|PF₁"|=|PF₁|，根据椭圆定义，
得2a=|PF₁"|+|PF₂|=|F₁F₂|=，
∴．
∴所求椭圆方程为．
（Ⅲ）∵，∴椭圆的准线方程为x=±2．
设点Q的坐标为（t，2t+3）（﹣2＜t＜2），d₁表示点Q到F₂的距离，d₂表示点Q到椭圆的右准线的距离．
则，
d₂=|t﹣2|．=，
令，则
=，
∵当，，t=﹣，f"（t）＞0．
∴f（t）在t=﹣时取得最小值．
因此，最小值=，此时点Q的坐标为（﹣）