题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形。
（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过B₁作直线交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求△PB₂Q的面积。

答案

解：（1）设椭圆的方程为，F₂（c，0）
∵△AB₁B₂是直角三角形，|AB₁|=|AB₂|，
∴∠B₁AB₂为直角，
从而|OA|=|OB₂|，
即
∵c²=a²-b²，
∴a²=5b²，c²=4b²，
∴
在△AB₁B₂中，OA⊥B₁B₂，
∴S=|B₁B₂||OA|=
∵S=4，
∴b²=4，
∴a²=5b²=20
∴椭圆标准方程为；
（2）由（1）知B₁（-2，0），B₂（2，0），
由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my-2代入椭圆方程，
消元可得（m²+5）y²-4my-16-0①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴，
∵，
∴=
∵PB₂⊥QB₂，
∴
∴，
∴m=±2当m=±2时，①可化为y²±8y-16-0，
∴|y₁-y₂|==
∴△PB₂Q的面积S=|B₁B₂||y₁-y₂|=×4×=。