题目

题型：高考真题难度：来源：

设A是单位圆x²+y²=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m＞0，且m≠1），当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（2）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）如图1，设M（x，y），A（x₀，y₀）
∵丨DM丨=m丨DA丨，
∴x=x₀，|y|=m|y₀|
∴x₀=x，|y₀|=|y|①
∵点A在圆上运动，
∴②
①代入②即得所求曲线C的方程为
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为（），
m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为（），
（2）如图2、3，∵x₁∈（0，1），
设P（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
则Q（x₂，y₂），N（0，y₁），
∵P，H两点在椭圆C上，
∴
①-②可得③
∵Q，N，H三点共线，
∴k_QN=k_QH，
∴
∴k_PQ·k_PH=
∵PQ⊥PH，
∴k_PQ·k_PH=-1
∴
∵m＞0，
∴
故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH。