题目

题型：重庆市高考真题难度：来源：

如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程是x=，
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设动点P满足：，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为。问：是否存在定点F，使得|PF|与点P到直线l：x=的距离之比为定值？若存在，求F的坐标；若不存在，说明理由。

答案

解：(Ⅰ)∵，，解得a=2，c=，
∴b²=a²-c²=2，
∴椭圆的标准方程为；
(Ⅱ)设P(x，y)，，
则由，得，
∴x=，y=，
∵M，N在椭圆上，
∴，
∴
，
设分别表示直线OM，ON的斜率，
由题设条件知，，
∴，
∴=20，
∴点P在椭圆上，
该椭圆的右焦点为F(，0)，离心率e=，右准线为l：x=2，
∴根据椭圆的第二定义，存在定点F(，0)，使得|PF|与点P到直线l的距离之比为定值。