题目
题型:安徽省模拟题难度:来源:
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是椭圆的左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标。
答案
则,解得,
∴椭圆C的标准方程为。
(2)由方程组消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
由题意Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
整理得:3+4k2-m2>0, ①
设M(x1,y1)、N(x2,y2),
则,
由已知,AM⊥AN,且椭圆的右顶点为A(2,0),
∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,
即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0,
也即,
整理得7m2+16mk+4k2=0,解得m=-2k或,均满足①.
当m=-2k时,直线l的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),不符合题意,舍去;
当时,直线l的方程为,过定点,故直线l过定点,且定点的坐标为。
核心考点
试题【已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,短轴长为2,(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的标准方程;
(2)斜率为1的直线L与椭圆交于A、B两点,O为原点,当△AOB的面积最大时,求直线L的方程。
(2)若在椭圆C上存在点Q,满足(O为坐标原点),求实数λ的取值范围。