题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。  

答案

解：设椭圆方程为，
（Ⅰ）由已知得，
∴所求椭圆方程为；
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+2，，
由，消去y得关于x的方程：，
由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴，解得，
又由韦达定理得，
∴
，
原点O到直线l的距离，
，
对两边平方整理得：，（*）
∵S≠0，
整理得：，
又S＞0，
∴，从而的最大值为，
此时代入方程（*）得，
∴，
所以，所求直线方程为：。